泛函分析(西北大学) 中国大学MOOC答案2024版100分完整版

第一单元 距离空间的基本概念 单元测验（一）

1、 如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（ ）.

答案: 可以无限多个距离

2、 在一个非空集合上( ) 可以定义距离.

答案: 一定

3、 N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（ ）.

答案: 按坐标收敛

4、 连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（ ）.

答案: 一致收敛

5、 有界数列空间中点列的按距离收敛是（ ）.

答案: 其余三项都不对

6、 离散距离空间中点列的按距离收敛是（ ）.

答案: 其余三项都不对

7、 一个非空集合上的距离满足（ ）.

答案: 非负性;
对称性;
三角不等式

8、 关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（ ）.

答案: 收敛列的极限是唯一的;
收敛列的极限一定属于该距离空间;
收敛列的子列一定收敛

9、 距离空间中的收敛点列满足（ ）.

答案: 其极限是唯一的;
其任一子列必收敛

10、 设R是实数集，定义 d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.

答案: 错误

11、 任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.

答案: 正确

12、 设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义则d是C[0,1]上的一个距离.

答案: 正确

第二单元 距离拓扑与可分性 单元测验（二）

1、 开集恰好由该集合的所有（ ）构成.

答案: 内点

2、 闭集恰好由该集合的所有（ ）构成.

答案: 接触点

3、 设 E 和 F 是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（ ）.

答案:

4、 全体有理数在（ ）中是稠密的.

答案: 实数空间

5、 以下选项中，不可分的距离空间为（ ）.

答案: 有界数列空间

6、 距离空间中的非空开集一定包含一个（ ）.

答案: 内点;
接触点;
开球;
闭球

7、 以下说法正确的是（ ）.

答案: 开球是开集;
开球的补集是闭集

8、 在距离空间中，以下说法正确的是（ ）.

答案: 开球的闭包是闭集;
开球的内部是开集;
开球的补集是闭集

9、 关于内点与接触点，以下说法正确的是（ ）.

答案: 内点一定是接触点;
接触点可能是内点

10、 在距离空间中，以下说法正确的是（ ）.

答案: 任意多个开集的并集是开集;
任意多个闭集的交集是闭集

11、 在实数空间 R 中，令 Q 为有理数全体. 以下选项中，与 “Q 在 R 中稠密” 等价的是（ ）.

答案: ;

12、 设 E 和 F 是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（ ）.

答案: ;

13、 设 E 与 F 是距离空间中的点集. 以下命题中，相互等价的是（ ）.

答案: E 在 F 中稠密;
F 中每个点都是E的接触点;
F 中每个点都是 E 中某点列的极限

14、 以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（ ）.

答案: 实数空间;
有理数空间;
连续函数空间

15、 在可分的距离空间中，必包含（ ）.

答案: 可数子集;
稠密子集;
有限子集

16、 设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（ ）.

答案: Y中任何开集的原像是X中的开集;
Y中任何闭集的原像是X中的闭集

17、 距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.

答案: 错误

18、 距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.

答案: 正确

19、 任意多个闭集的并集是闭集.

答案: 错误

20、 任意有限个开集的交集是开集.

答案: 正确

21、 离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.

答案: 正确

22、 非空开集一定是开球.

答案: 错误

23、 在实数空间中，全体有理数在全体无理数中稠密.

答案: 正确

24、 有界数列空间是可分的距离空间.

答案: 错误

25、 [0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.

答案: 正确

26、 在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.

答案: 正确

27、 定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.

答案: 正确

28、 有界数列空间的任何子空间都是不可分的.

答案: 错误

第三单元 完备的距离空间 单元测验（三）

1、 以下关于距离空间中 ”柯西列与收敛列“ 的表述，正确的是（ ）.

答案: 收敛列一定是柯西列

2、 以下实数空间的距离子空间中，具有完备性的是（ ）.

答案:

3、 设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（ ）.

答案: E是X的稠子空间

4、 在距离空间中，压缩映射一定是（ ）.

答案: 连续映射

5、 在完备的距离空间中，以下说法正确的是（ ）.

答案: 收敛列必为柯西列;
柯西列必为收敛列;
闭子集一定是完备的子空间;
开子集一定不是完备的子空间

6、 在连续函数空间中，以下说法正确的是（ ）.

答案: 柯西列一定是收敛列;
收敛列一定是柯西列

7、 在以下选项中，具有完备性的距离空间是（ ）.

答案: 实数空间;
N维欧氏空间;
连续函数空间;
有界数列空间;
离散的距离空间

8、 以下实数空间的子空间中，不完备的是（ ）.

答案: ;
;

9、 在距离空间中，等距映射一定是（ ）.

答案: 单射;
连续映射

10、 设X是距离空间，T是X到X的映射. 压缩映射定理成立的条件是（ ）.

答案: X是完备的;
T是压缩映射

11、 完备的距离空间一定是可分的.

答案: 错误

12、 在全体有理数 Q 上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.

答案: 错误

13、 在等距同构的意义下，任何距离空间都存在唯一的完备化空间.

答案: 正确

14、 在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.

答案: 错误

第四单元 列紧性与紧性 单元测验（四）

1、 在实数空间中，以下选项中不是完全有界集的有（ ）.

答案:

2、 在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，不正确的是（ ）.

答案: 列紧集的补集是列紧集

3、 在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（ ）.

答案: 单点集

4、 在实数空间中，以下选项中是紧集的有（ ）.

答案:

5、 设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（ ）.

答案: T(A)是紧集

6、 在实数空间中，以下选项中是列紧集的有（ ）.

答案: ;
;

7、 在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（ ）.

答案: 单点集是列紧集;
有限点集是列紧集;
可列点集未必是列紧集

8、 在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（ ）.

答案: 有限个列紧集的并集是列紧集;
有限个列紧集的(非空)交集是列紧集;
可数个列紧集的(非空)交集是列紧集

9、 在连续函数空间C[a,b]中，当子集A满足（ ）时，则A是列紧集.

答案: 一致有界;
等度连续

10、 在距离空间中，以下关于“完全有界集的性质”的描述，正确的是（ ）.

答案: 完全有界集是有界集;
完全有界集必可分;
完全有界集的子集是完全有界集;
有限个完全有界集的并集是完全有界集

11、 在实数空间中，完全有界集未必是有界集.

答案: 错误

12、 在距离空间中，列紧集的非空子集一定是列紧集.

答案: 正确

13、 完备的距离空间一定是列紧空间

答案: 错误

14、 在列紧的距离空间中，柯西列与收敛列是等价的.

答案: 正确

15、 在离散的距离空间中，列紧集一定是紧集.

答案: 正确

16、 在完备的距离空间中，完全有界集未必是列紧集.

答案: 错误

17、 设A是距离空间X中的紧集，f是X到R的连续函数. 则f是有界的，并可取到上、下确界.

答案: 正确

18、 在有界数列空间中，列紧集是完全有界集. 反之不成立.

答案: 错误

19、 在距离空间中，列紧的闭集就是紧集.

答案: 正确

20、 在连续函数空间中，列紧集的闭包是紧集.

答案: 正确

21、 距离空间之间的连续映射，把紧集映成列紧集.

答案: 正确

第五单元 赋范空间的基本概念 单元测验（五）

1、 以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（ ）.

答案: 子集一定是子空间

2、 以下空间中，属于有限维赋范空间的是（ ）.

答案:

3、 设A是线性空间X中，如果A中任何（ ）向量的线性组合都是线性无关的，则称A是线性无关的.

答案: 有限个

4、 以下抽象空间中，既是距离空间，又是线性空间的是（ ）.

答案: ;
;

5、 设M是线性空间X的子集，当M满足（ ）时，称M为X的Hamel基.

答案: M中任何有限个向量的线性组合都线性无关;
X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合

6、 设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（ ）时，X为A与B的直和.

答案: ;

7、 设X是线性空间，X中的范数满足（ ）.

答案: 非负性;
正齐次性;
三角不等式

8、 设X是赋范空间，d是由范数诱导的距离，则d满足（ ）.

答案: 对称性;
三角不等式;
相似性;
平移不变性

9、 以下命题中，正确的是（ ）.

答案: 赋范空间一定是线性空间;
赋范空间一定是距离空间;
距离空间未必是赋范空间;
距离空间未必是线性空间

10、 设A是线性空间X的子集，则A的线性包是包含A的最小闭子空间.

答案: 错误

11、 每个非零的线性空间都存在一个Hamel基.

答案: 正确

12、 赋范子空间一定是距离子空间.

答案: 正确

13、 赋范子空间一定是线性子空间.

答案: 正确

14、 在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.

答案: 正确

15、 距离空间未必是赋范空间.

答案: 正确