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作业函数 函数课后作业 1、 指出下列各关系是否为函数：其中R为实数集 评分规则: 解：(1)是；(2)是；(3)不是。 2、 设，定义如下：，求 评分规则: 3、 分别确定以下各题的f是否为从A到B的函数，并对其中的函数指出它是否为单射，满射或双射？如果不是，请说明理由。(1) A,B为实数集，(2) A,B为实数集，(3) A,B为实数集，(4) A,B为正整数集，(5) A,B为正整数集， 评分规则: (1)是函数，是双射函数。(2)不是函数，因为负实数没有实数平方根，即负实数没有被定义。(3)不是函数，因为0∈R，但是0不能求倒数，即0没有被定义。(4)是函数，是单射，但不是满射（1没有被映射到）。(5)是函数，不是单射，是满射。 4、 设函数定义为：(1) 证明是单射(2) 证明是满射(3) 求逆函数(4) 求复合函数和 评分规则: 5、 判断下列各命题是否成立。(1) 若，则 (2) 若且，那么(3) 若且，那么(4) 若且，那么 (5) 若且，那么(6) 若且，那么 评分规则: 作业代数系统 代数系统课后作业 1、 为有理数集，为上的二元运算，有 (1) 运算在上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ (2) 运算是否有单位元，零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元。 评分规则: 2、 令,上有四个二元运算：分别由下表确定。(1) 这四个运算中哪些运算满足交换律、结合律、幂等律。(2) 求每个运算的单位元、零元及所有可逆元素的逆元。 评分规则: 3、 设代数系统，其中是非0实数集，二元运算为：，试问运算是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元。 评分规则: 4、 设为一半群，为左(右)零元。证明：对亦为左(右)零元。 评分规则: 5、 设为一半群，为中给定元素，证明:若满足 ，，那么。 评分规则: 6、 设为群。若在上定义运算，使得对任何元素。证明：也是群。 评分规则: 7、 设为一群。证明：(1) 若对任意有，则 为阿贝尔群。(2) 若对任意有，则为阿贝尔群。 评分规则: 8、 求出，的所有子群。 评分规则: 9、 设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合，即。证明N(a)构成G的子群。 评分规则: 10、 下图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。 评分规则: 函数 《集合论》单元测验 1、 设有函数和，那么，如果是单射，则（ ） 答案: f是单射 2、 设,（ ） 答案: (x-7)/2 3、 card(A)=n, card(B)=m, 则从A到B的函数个数为（ ） 答案: 4、 指出图中各关系是函数为（ ） 答案: 5、 指出下列各关系不是从A到B的函数的为（ ） 答案: 6、 A={1,2,3,4}，B={5,6,7,8}，函数f={<1,8>,<3,6>,<4,5>,<2,6>}是（ ） 答案: 既不是单射也不是满射 7、 A，B为正整数集，函数是（） 答案: 满射 8、 设函数定义为：，则下面说法正确的是（ ） 答案: f既是单射又是满射 9、 设函数，， 反函数是（ ） 答案: 10、 的基数是（ ） 答案: 0 11、 若A和B是无限集，C是有限集，则下列说法正确的是（ ） 答案: 一定是无限集 12、 X=[0,1]，Y=[1/4,1/2], 构造一个X到Y的双射函数为（ ） 答案: 13、 设，则下面说法正确的是（ ） 答案: 14、 设，A上的关系, 则有= ( ) 答案: 15、 偏序关系和等价关系都具有 ( ) 答案: 传递性 16、 A,B为两个集合,以下判断错误的是 ( ) 答案: 若，则 17、 某班共32人，会跳舞的30人，会武术的12人，既会跳舞又会武术的有（ ）人 答案: 10 18、 设则A上包含关系“”的哈斯图为 ( ) 答案: 19、 设S={1,2,3}，S上关系R的关系图为则R具有（ ）性质 答案: 自反性 20、 设S={N，Q，R}，下列命题正确的是 ( ) 答案: ，则 21、 集合的幂集P(A) = ( ) 答案: 22、 设S={1,2,3}，定义上的等价关系R,则由 R产 生的上一个划分共有（ ）个分块 答案: 5 23、 设，则为 ( ) 答案: 24、 设，X上的关系，R的传递闭包t(R)为 ( ) 答案: 25、 设，在上规定二元关系如下： 是上的等价关系,则商集为 ( ) 答案: 26、 设，，为对称差运算，则的解为( ) 答案: 27、 可数集的任何子集都是可数集 答案: 正确 28、 两个可数集的并集不是是可数集 答案: 错误 29、 两个可数集的笛卡尔积不是可数集 答案: 错误 30、 可数集中加入有限个元素(或删除有限个元素)仍为可数集 答案: 正确 31、 对于任意集合的A，B，等式成立 答案: 错误 32、 在关系图中，若每两个顶点间没有双向边，表示该关系一定不具有对称性 答案: 错误 33、 设A，B， C是任意三个集合, 答案: 错误 34、 若且，则 答案: 正确 35、 可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的。 答案: 正确 36、 设有函数和，那么，如果是单射，则（ ） 答案: f是单射 37、 设,（ ） 答案: 38、 , 则从A到B的函数个数为（ ） 答案: 39、 指出下列各关系不是从A到B的函数的为（ ） 答案: 40、 ，函数是（ ） 答案: f既不是单射也不是满射 41、 A，B为正整数集，函数是（ ） 答案: 满射 42、 设函数定义为：，则下面说法正确的是（ ） 答案: f既是单射又是满射 43、 设函数，， 反函数是（ ） 答案: 44、 若A和B是无限集，C是有限集，则下列说法正确的是（ ） 答案: 一定是无限集 45、 某班共32人，会跳舞的30人，会武术的12人，既会跳舞又会武术的有（ ）人 答案: 10 46、 设则A上包含关系“”的哈斯图为 ( ) 答案: 47、 设S={1,2,3}，S上关系R的关系图如下所示，则R具有（ ）性质 答案: 自反性 48、 设S={1,2,3}，定义上的等价关系R，则由 R产生的上的划分共有（ ）个分块 答案: 5 49、 设，，为对称差运算，则的解为( ) 答案: 代数系统 《代数系统》单元测验 1、 设<G， >是一个具有子群<H， >的有限群，且H在G中的指数(不同右陪集数)为d, 则两者的基数关系为（ ） 答案: card(G)=d ×card(H) 2、 设为普通乘法，则是（ ） 答案: 都不是 3、 设代数系统<A，*>，其中A={a，b，c} ,见图，则零元是（ ） 答案: 没有 4、 选出整环所不具有的性质（ ） 答案: 零元 5、 在下列代数系统中一定满足消去律的有（ ） 答案: 群 6、 下列说法正确的是（ ） 答案: 循环群一定是可交换的 7、 设有群，其中，是模6加法，试求出群的所有非平凡子群为（ ） 答案: 8、 下面偏序集能构成格的有（ ） 答案: 9、 下面偏序格是分配格的是（ ） 答案: 10、 设是由群到群的同态映射，则是（ ） 答案: G的子群 11、 具有如下定义的代数系统<G,>，不构成群的是（ ） 答案: G是有理数集，是普通乘法 12、 数的加法在下列集合上构成二元运算的是（ ） 答案: 13、 下列集合关于指定运算能构成群的是（ ） 答案: 给定实数，关于数的乘法 14、 设是正整数集合，是普通的加法、减法、乘法和平方运算，下列哪个不能构成代数系统 答案: 15、 具有多个等幂元的半群，则下列说法正确的是（ ） 答案: 不能构成群 16、 5阶群的子群的阶可以是（ ） 答案: 1,5 17、 给定代数系统为普通乘法，该代数系统的单位元为（ ） 答案: 18、 4阶群必是（ ）群，也是（ ）群 答案: 有限群; 交换群 19、 设有群，其中，是模6加法, 生成元为（ ） 答案: 1; 5 20、 找出群的子群的所有右陪集（ ） 答案: {0,2,4}; {1,3,5} 21、 设是格，，下列公式一定成立的有（ ） 答案: ; ; ; 22、 设，为有理数集，为上的二元运算，，则下列说法正确的是（ ） 答案: 运算满足结合律; 运算有单位元 23、 已知集合，下面哪些运算关于集合A是封闭的（ ） 答案: ，求两个数的最大值; ，求两个数的最小值; ，求两个数的最大公约数 24、 同类型的代数系统具有的特征是（ ） 答案: 运算的个数相同; 对应运算的元数相同; 代数常数的个数相同 25、 对于自然数集合，下面那些运算是可结合的， 答案: ; ; 26、 逆元一定是唯一的。 答案: 错误 27、 有极大元和极小元的偏序集合是格。 答案: 错误 28、 任何有限半群必存在幂等元（等幂元）。 答案: 正确 29、 循环群的子群也是循环群。 答案: 正确 30、 循环群的生成元是唯一的。 答案: 错误 31、 设<G， >是一个具有子群<H， >的有限群，且H在G中的指数(不同右陪集数)为d, 则两者的基数关系为（ ） 答案: 32、 设为普通乘法，则是（ ） 答案: 都不是 33、 设有群，其中，是模6加法，试求出群的所有非平凡子群为（ ） 答案: 34、 4阶群必是（ ）群，也是（ ）群 答案: 有限群; 交换群 作业图和树 图和树课后作业 1、 求下图中图D的邻接矩阵A(D)，计算邻接矩阵的2次方、3次方、4次方，并找出v1到v4长度为2，3，4的所作业命题逻辑 命题逻辑课后作业 1、 设命题：“马路上骑自行车不许带人,不许闯红灯，不许逆行，否则罚款5—10元。” 利用下列符号：M：某人在马路上骑自行车；P：某人骑车带人；R：某人骑车逆行；Q： 某人骑车闯红灯；S： 某人被罚款5—10元。请用给定的符号表示上述命题。 评分规则: 或者或者 2、 将下列语句翻译成命题公式。只有通过了英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课。 评分规则: 令P：通过英语六级考试，Q：是英语专业的学生，R：可以选修这门课 3分符号化为： 2分 3、 符号化下列命题，并判断其真值。如果一自然数能同时被3和5整除，那么，如果a不能被3整除，则a不能被5整除。 评分规则: 4、 下列各式是否是重言式？并说明理由。 评分规则: 5、 用等值演算法证明下面等值式。 评分规则: 6、 给定如下三个公式：(i) 用等值演算法来判断上述公式的类型。(ii) 用主析取范式法判断上面公式的类型，并求公式的成真赋值。(iii) 求上面3个公式的主合取范式，并求公式的成假赋值。 评分规则: 7、 求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式。 评分规则: 8、 在自然推理系统P2中构造下面推理的证明：(1)前提： 结论：(2)前提： 结论：(3)前提： 结论：(4)前提： 结论： 评分规则: 9、 试用命题演算解决下面的问题：某天，三位任课教师各需给某班辅导，其中英语老师希望排在第一节或第二节；力学老师希望排在第一节或第三节；而数学老师希望排在第二节或第三节，问能否同时满足老师们的要求？若能，试写出可行方案。 评分规则: 10、 符号化下列命题，并证明其有效性。我今天或上街，或访友。如果我看书，则我不上街；如果我不看书，则我去看电影；今天我不去看电影，因此我去访友。 评分规则: 作业谓词逻辑 谓词逻辑课后作业 1、 在全总个体域中，将下列语句符号化为谓词公式。(1)并非每个实数都是有理数；（2分）(2)没有有理数不是实数；（2分）(3)尽管有些有理数大于0，但并非大于0的实数都是有理数；（3分）(4)对于任一正实数，都存在大于该实数的实数。（3分） 评分规则: 2、 给定命题：“有的女孩比所有的男孩都聪明”。令x，y代表任意客体域中的变元，定义谓词G(x)：“x是女孩子”，B(x)：“x是男孩子”，C(x,y)：“x比y聪明”，并规定(1)用上述谓词将给定命题译为谓词公式（2分）；(2)下列命题哪一个是给定命题的反命题？利用逻辑联词的等价关系证明你的结论(不需要作出公理化方法的严格说明)（8分）①有的男孩子比所有女孩子都聪明。②对于任何男孩子，一定至少有一个不如他聪明的女孩子。③对于任何女孩子，一定至少有一个比她聪明的男孩子。 评分规则: 3、 在谓词逻辑中给定解释I如下：个体域 D＝{2，3}；D中特定元素；D上的特定函数;D上的特定谓词;在解释I下，求谓词公式的真值。 评分规则: 4、 下列各式是否是永真式？说明理由。(1) （5分）(2) （5分）(3) （5分） 评分规则: 5、 判断下面命题推理是否正确，若有错，请指出。 评分规则: 6、 下列推理的推导过程是否有错，如果有错，则指出是第几步有错，并说明理由。（5分）结论是否有效？为什么？（5分）如有效，则将推导过程加以改正，如果无效，则举例加以说明。（5分） 前提 量词转换律 德·摩根定律 存在量词分配律 德·摩根定律 量词转换律 评分规则: 7、 在谓词逻辑中研究如下推理是否有效：没有不守信用的人是可以信赖的，有些可以信赖的人是受过教育的。因此有些受过教育的人是守信用的。(要求：先给出形式化的前提和结论，并且注明其中谓词的含义，上述部分5分，在证明过程中，要写出每步的根据，上述部分10分) 评分规则: 8、 用谓词逻辑自然推理公式，写出对应下列推理的证明：如果一个公式是重言式，则它就不是矛盾式。任何一个合式或者是可满足的或者是矛盾式，存在着不可满足的合式，所以，存在着非重言式的合式。(要求：先给出形式化的前提和结论，并且注明其中谓词的含义，上述部分5分，在证明过程中，要写出每步的根据，上述部分10分) 评分规则: 谓词逻辑 《数理逻辑》单元测验 小提示:本节包含奇怪的同名章节内容 1、 下列各式中不成立的是 ( ) 选项： A: B: C: D: 2、 谓词公式中的 x是 ( ) 选项： A:自由变元 B:约束变元 C:既是自由变元又是约束变元 D:既不是自由变元又不是约束变元 既是自由变元又是约束变元 3、 设D：全总个体域，F（x）：x是花，M(x) ：x是人，H(x,y)：x喜欢y。则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为 ( ) 选项： A: B: C: D: 4、 设P(x)：x是聪明的，M(x)：x是人，则命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化 ( ) 选项： A: B: C: D: 5、 1. 论域D={1，2}，指定谓词PP (1,1)P (1,2)P (2,1)P (2,2)TTFF则公式真值为 ( ) 选项： A:F B:无法确定 C:T D:不唯一 T 6、 给定推理推理过程中错在 ( ) 选项： A:①->② B:②->③ C:③->④ D:④->⑤ E:⑤->⑥ ③->④ 7、 令F(x)：x为实数，L(x,y)：x>y， 则命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”的谓词逻辑公式为（ ） 选项： A: B: C: D: 8、 “人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。（论域为全总个体域）M(x)：x是人；Mortal(x)：x是要死的。 选项： A: B: C: D: 9、 公式的解释I为：个体域D={2}，P(x)：x>3, Q(x)：x=4则A的真值为 ( ) 选项： A:1 B:0 C:可满足式 D:无法判定 1 10、 在谓词演算中，下列各式哪个是正确的 ( ) 选项： A: B: C: D: 11、 下列等值关系正确的是 ( ) 选项： A: B: C: D: 12、 下列推理步骤错在 ( ) 选项： A:①→② B:②→③ C:③→④ D:④→⑤ ②→③ 13、 谓词公式中变元y是( ) 选项： A:自由变元 B:约束变元 C:既不是自由变元也不是约束变元 D:既是自由变元又是约束变元 约束变元 14、 给定命题：“有的女孩比所有的男孩都聪明”，下列命题（ ）是给定命题的反命题（否命题）。 选项： A:有的男孩子比所有女孩子都聪明。 B: 对于任何男孩子，一定至少有一个不如他聪明的女孩子。 C:对于任何女孩子，一定至少有一个比她聪明的男孩子。 D:不存在一个男孩比所有的女孩都聪明。 对于任何女孩子，一定至少有一个比她聪明的男孩子。 15、 一个命题含有4个原子命题，则对其所有可能的赋值有（ ）种 选项： A:8 B:16 C:32 D:64 16 16、 设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质。命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为 ( ) 选项： A: B: C: D: 17、 设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则的真值为 ( ) 选项： A:0 B:1 C:未知 D:不确定 1 18、 公式 的主合取范式为 ( ) 选项： A: B: C: D: 19、 若公式的主析取范式为，则它的主合取范式为 ( ) 选项： A: B: C: D: 20、 命题公式 中成真赋值`的个数为（ ） 选项： A:0 B:1 C:2 D:3 3 21、 的主析取范式中含极小项的个数为 ( ) 选项： A:2 B:3 C:5 D:8 5 22、 公式的对偶公式为 ( ) 选项： A: B: C: D: 23、 求的主合取范式为 ( ) 选项： A: B: C: D: 24、 下列符号串是合式公式的有 ( ) 选项： A: B: C: D: ; 25、 设H（x）：x是人， P（x）：x犯错误。“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为 ( ) 选项： A: B: C: D: ; 26、 给定公式，当D={a,b}时，下列的解释（ ）使该公式真值为0 选项： A:P(a)=0、P(b)=0 B:P(a)=0、P(b)=1 C:P(a)=1、P(b)=0 D:P(a)=1、P(b)=1 P(a)=0、P(b)=1; P(a)=1、P(b)=0 27、 下面重言蕴涵关系成立的是 ( ) 选项： A: B: C: D: ; ; 28、 “发光的不都是金子”，P(x): x发光，G(x): x是金子，则上述语句可以符号化为（有通路。 评分规则: 从v1 到v4长度小于等于4的通路共有1+1+2=4条 2、 计算下面有