高等数学（二）(国防科技大学) 中国大学MOOC答案2024版100分完整版

第一周 第一讲 导数概念单元测试题

1、 设是可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）.

答案:

2、 函数不可导的个数为（    ）. 

答案: 2

3、 设曲线与在点处相切，其中为常数，则（  ）. 

答案:

4、 设函数在处连续，下列结论不正确的是（    ）．

答案: 若存在，则存在

5、 设在处连续，，则是在处可导的（    ）. 

答案: 既非充分条件又非必要条件

6、 若函数在处可导，则.

答案: 错误

7、 若曲线在点处存在切线，则函数在处可导.

答案: 错误

8、 设为区间内的偶函数，若在区间内可导，则其导函数必为内的偶函数.

答案: 错误

9、 若函数在处可导，则曲线在点处存在切线.

答案: 正确

10、 若函数在处的左右导数都存在且相等，则函数在处可导.

答案: 正确

11、 若函数在处连续，则函数在处可导当且仅当．

答案: 正确

第一周 第二讲 导数运算法则单元测试

1、 (     ).

答案:

2、 (     ).

答案:

3、 若，（   ）．

答案:

4、 (      ).

答案:

5、 (      ).

答案:

6、 (     ).

答案:

7、 设，则（   ）．

答案:

8、 设两曲线与在原点相切，则（   ）．

答案:

9、 .

答案: 正确

10、 .

答案: 错误

11、 设为可导函数，，则.

答案: 正确

12、 设，则.

答案: 错误

13、 .

答案: 正确

14、 .

答案: 错误

15、 .

答案: 正确

16、 .

答案: 正确

 

第一周 第三讲 高阶导数单元测试

1、 (     )

答案:

2、 (     )

答案:

3、 设，则（   ）．

答案:

4、 设，则（   ）．

答案:

5、 椭圆在点处的切线方程为（   ）．

答案:

6、 设，则（   ）．

答案:

7、 设，则（   ）．

答案:

8、 设，则（   ）．

答案:

9、 设，则.

答案: 错误

10、 设，为正整数，则.

答案: 错误

11、 设，函数由方程所确定，则.

答案: 正确

12、 .

答案: 正确

13、 直角坐标方程可以写成参数方程的形式.

答案: 正确

14、 设，则.

答案: 正确

15、 设为正整数，则.

答案: 正确

16、 设，则.

答案: 正确

第二周（1） 第四讲 局部线性化与微分单元测试

1、 设，则（   ）. 

答案:

2、 设函数在的某邻域内有定义，且，其中是与无关的常数，下列结论不正确的是（     ）．

答案: 在处不一定可导 

3、 下列说法正确的是（     ）．

答案: 中，如果固定，则是的线性函数 

4、 函数在处微分为（   ）. 

答案: 不存在

5、 设函数具有二阶导数，且，为自变量在点 处的增量， 与分别为在点处的增量与微分，若，则（     ）．

答案:

6、 设有复合函数，其中和均可微，则函数也可微，且．

答案: 正确

7、 设函数二阶可导，则．

答案: 正确

8、 在点处的微分可写成或．

答案: 正确

9、 设函数在的某邻域内有定义，则函数在可微的充要条件是在处可导．

答案: 正确

10、 设在处连续，则在处的微分可用下述方式求得：由于，所以．

答案: 错误

11、 设为函数的反函数，则

答案: 正确

第二周（1） 第五讲 导数在实际问题中的应用单元测试

1、 设作直线运动的物体的路程与时间的关系式为，则物体在时的瞬时速度为（   ）．

答案:

2、 若长方形铁片的长和宽按下列规律变化：，则当时，其铁片面积的变化率为（   ）．

答案:

3、 落在平静水面上的石头，会产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是，则在2秒末扰动水面面积的增大率为（   ）（）．

答案:

4、 设物体运动的路程与时间的关系式为，则物体在时的瞬时加速度为（   ）．

答案: 16

5、 若生产件产品的成本为（元），则当生产10件产品时其边际成本为（   ）．

答案: 9

6、 设均是的可导函数，是平面上的两点之间的距离，则（   ）．

答案:

7、 设长方体的棱长按下列规律变化：，则在时，其体积的变化率为（   ）．

答案: 2

8、 若生产件产品的成本为（元），则其边际成本函数为.

答案: 正确

9、 若生产件产品的成本为（元），收入为（元），则其边际利润函数为.

答案: 正确

10、 若均为的可导函数，且，则.

答案: 正确

11、 若均为的可导函数，且，则.

答案: 正确

12、 设做直线运动的物体的路程与时间的关系式为，当从变化到时，则物体在该时间段上的平均速度为.

答案: 正确

13、 在匀速直线运动中，设物体的路程与时间的关系式为，则.

答案: 错误

14、 若均为的可导函数，且，则.

答案: 错误

15、 若均为的可导函数，且，则.

答案: 正确

 

第二周（1） 第六讲 不定积分的概念与性质单元测试

1、 （   ）．

答案:

2、 （   ）．

答案:

3、 （   ）．

答案:

4、 （   ）．

答案:

5、 设,则（   ）．

答案:

6、 下列等式中正确的是（   ）．

答案:

7、 （   ）．

答案:

8、 （   ）．

答案:

9、 设,则（   ）．

答案:

10、 若函数的一条积分曲线通过点，则该积分曲线的方程为（   ）．

答案:

11、

答案: 正确

12、 是的一个原函数.

答案: 错误

13、

答案: 正确

14、 设为任意常数，则.

答案: 错误

15、

答案: 正确

16、 是的一个原函数.

答案: 正确

17、

答案: 错误

18、

答案: 正确

19、

答案: 正确

20、

答案: 正确

第三周 第七讲 函数的极值及最优化应用单元测试

1、 设函数，则（   ）.

答案: 无极值

2、 设是函数的最大值点，则一定有（   ）. 

答案:

3、 设是函数的极大值点，则一定有（  ）. 

答案:

4、 设函数满足，则是的（  ）.

答案: 极大值点

5、 用总长为320m的篱笆围成一块矩形土地，欲使所围面积最大，则其矩形的长和宽应分别为（  ）. 

答案:

6、 数列的最小项是（   ）. 

答案:

7、 设函数则函数（   ）. 

答案: 有两个极值点

8、 若函数在内连续，则在内必取到最小值和最大值．

答案: 错误

9、 若函数在上连续，则在上必取到最小值和最大值．

答案: 正确

10、 若函数在内一点处不可导，则曲线在点处不存在切线．

答案: 错误

11、 若函数中的常数满足，则无极值．  

答案: 正确

第三周 第八讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理单元测试

1、 函数在区间内满足的点为（  ）.

答案:

2、 设函数在内可导，对任意的，则（  ）. 

答案: 至少存在一点，使得  

3、 设函数，则在区间内使成立的点（  ）. 

答案: 有两个

4、 设函数在上连续，在内可导，则下列结论不正确的是（  ）．

答案: 对任意，存在，且，使得

5、 设函数，则的三个实根分别位于区间（   ）内．

答案:

6、 下列函数在区间上满足罗尔定理条件的是（    ）.

答案:

7、 设函数可导，且一阶导函数是严格单调递增的，则（  ）. 

答案:

8、 若，则（   ）．

答案:

9、 若函数在上连续，在内可导，则存在唯一一点，使得.

答案: 错误

10、 高速公路全程限速为，一位司机驾驶一辆小车在内连续行驶了，则可断定该司机违章超速驾驶.

答案: 正确

11、 若函数均在上连续，在内可导，且，则在内有.

答案: 错误

12、 .

答案: 正确

13、 若函数在上连续，在内可导，则函数对应的曲线在内至少有一点处的切线，平行于连接两点所形成的弦.

答案: 正确

14、 若方程有一正根，则方程有一小于的正根.

答案: 正确

15、 设函数在上连续，在内可导，若，，则函数在区间上满足罗尔定理条件.

答案: 正确

16、 设函数可导，且，则至少存在一点，使得.

答案: 正确

第三周 第九讲 柯西中值定理与洛必达法则单元测试

1、 关于罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理下列说法不正确的是（    ）.

答案: 罗尔中值定理是柯西中值定理的一个推广

2、 设函数，，则在内满足的点（   ）．

答案: 不存在 

3、 极限（   ）

答案: 0

4、 极限（    ）.

答案:

5、 设函数在的某邻域内具有阶导数， 且，则下列结论不正确的是：（其中在0与之间）（    ）.

答案:

6、 极限（   ）

答案:

7、 极限（   ）．

答案: 1

8、 极限（   ）.

答案: 1

9、 极限（   ）.

答案: 1

10、 已知极限的存在，则实数的取值范围是（    ）.

答案:

11、 设函数在上可导，且，则必存在一点，使得．

答案: 正确

12、 设函数在上连续， 内可导，取，则由柯西中值定理有 .

答案: 正确

13、 设函数在上连续，内可导，取，则由柯西中值定理有.

答案: 错误

14、 .

答案: 错误

15、

答案: 错误

16、 .

答案: 正确

17、 若，则.

答案: 错误

18、 由可知，因为等式右边极限不存在，所以极限不存在.

答案: 错误

19、 利用洛必达法则有，因此，按这种方式求此极限洛必达法则失效. 但如果先整理化简，则有.

答案: 正确

20、 .

答案: 正确

 

第四周（1） 第十讲 函数的多项式逼近单元测试

1、 已知函数的四阶麦克劳林多项式为，则（   ）．

答案: -48

2、 函数的阶麦克劳林多项式为（   ）．

答案:

3、 函数在处的阶泰勒多项式为（   ）．

答案:

4、 若函数在处的二阶泰勒多项式为，则（   ）．

答案:

5、 函数的阶麦克劳林多项式为（   ）．

答案:

6、 多项式按的乘幂展开式为．

答案: 正确

7、 用函数的二阶泰勒多项式来逼近该函数时，所产生的误差是的高阶无穷小．

答案: 正确

8、 函数的阶麦克劳林多项式为．

答案: 正确

9、 设函数在处的阶导数存在，则函数在处的阶泰勒多项式是唯一的．

答案: 正确

10、 函数的阶麦克劳林多项式为．

答案: 正确

第四周（1） 第十一讲 泰勒公式单元测试题

1、 函数按的幂展开的带有皮亚诺余项的泰勒公式为则（   ）．

答案:

2、 函数在处展开的带有皮亚诺余项的阶泰勒公式为（   ）．

答案:

3、 函数带皮亚诺余项的7阶麦克劳林公式为（   ）．

答案:

4、 设函数在处具有阶导数，，则（   ）．

答案:

5、 设函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，带拉格朗日余项的阶泰勒公式，（   ）．

答案: 则至少存在介于之间的一点，使得

6、 设函数在含有原点的某个开区间内具有直到阶导数，带拉格朗日余项的阶麦克劳林公式 ，则（   ）．

答案:

7、 函数的阶麦克劳林公式的拉格朗日余项（   ）．

答案:

8、 函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式为（   ）．

答案:

9、 函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式为（   ）．

答案:

10、 函数在处的带有皮亚诺余项的阶泰勒公式为（   ）．

答案:

11、 函数在处的带皮亚诺余项的泰勒公式为.

答案: 正确

12、 设函数在处具有阶导数，则当时，用其相应的阶泰勒多项式来逼近所产生的误差是关于的高阶无穷小.

答案: 正确

13、 函数的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式为.

答案: 错误

14、 函数的二阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式为.

答案: 错误

15、 设函数在具有阶导数，则当时，用其相应的阶泰勒多项式来逼近所产生的误差是关于的同阶无穷小.

答案: 错误

16、 函数带拉格朗日余项的麦克劳林公式为

答案: 错误

17、 函数三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式为.

答案: 正确

18、 函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式为.

答案: 错误

第四周（1） 第十二讲 泰勒公式的应用单元测试

1、 下列式子中，表述近似计算公式的绝对误差最合理的是（   ）．

答案:

2、 要使近似计算的绝对误差小于，则需控制的较大范围是（   ）．

答案:

3、 （   ）．

答案: 0

4、 利用近似计算公式计算，要求绝对误差小于，则的最小取值为（   ）．

答案: 4

5、 若，则（   ）．

答案:

6、 若当时，有，则常数（   ）．

答案:

7、 设常数满足，则有（   ）．

答案:

8、 设函数在的某个邻域内二次可导，且，则（   ）．

答案:

9、 设函数在的某个邻域内二次可导，且，则（   ）．

答案:

10、 利用函数的二阶阶麦克劳林多项式可以得到的较好近似值的计算方法是．

答案: 正确

11、 利用函数的二阶麦克劳林多项式可以得到的较好近似值的计算方法是．

答案: 错误

12、 当时，有.

答案: 错误

13、 设为函数的阶麦克劳林公式的拉格朗日余项，则对任意的，有．

答案: 正确

14、 若在的某邻域内有阶导数，且，则在该的邻域内有（在与之间）．

答案: 正确

15、 .

答案: 正确

16、 .

答案: 错误

17、 若在的某邻域内有阶导数，且， ，则是的极大值点．

答案: 错误

 

第五周 第十三讲 函数的单调性与凹凸性单元测试

1、 设函数，则的曲线在内的拐点个数为（   ）．

答案: 1

2、 设函数，则函数在上的单增区间为（   ）．

答案:

3、 设函数的曲线在拐点处的法线均过原点，则（   ）．

答案:

4、 设曲线则其所有拐点为（   ）．

答案:

5、 设函数过点，若为其驻点，为其曲线的拐点，则（   ）．

答案:

6、 设函数，则函数（   ）．

答案: 在内是严格单调减少的，在内是严格单调增加的

7、 设函数，则（   ）．

答案: 不是极值点，是极大值点，是极小值点 

8、 设函数，则其极值点个数为（   ）．

答案: 1

9、 设函数，则（   ）．

答案: 函数的曲线在内为凸弧，在内为凹弧

10、 设函数在内可导，若在内有，则函数在内是单调增加的．

答案: 正确

11、 若函数在内有极值点，则该极值点一定是函数单调性的分界点．

答案: 错误

12、 若函数在处的一阶导数为零，则该点一定是函数单调区间的分界点．

答案: 错误

13、 设函数在区间内可导，则为区间上的严格向下凸函数的充分必要条件是对任意的，都有． 

答案: 正确

14、 若函数在内二阶可导，对，若点为曲线的拐点且在处连续，则有．

答案: 正确

15、 若函数在内二阶可导，对，若点为曲线的拐点，则是函数的导函数的极值点．

答案: 正确

第五周 第十四讲 利用导数研究函数的几何性态单元测试

1、 函数在上（   ）．

答案: 既无极大值又无极小值

2、 曲线的拐点坐标是（   ）．

答案:

3、 设函数，则（   ）．

答案: 曲线有铅直渐近线和斜渐近线

4、 曲线的渐近线条数为（   ）．

答案: 3

5、 设函数满足，则函数在上（   ）．

答案: 既无极大值又无极小值

6、 极限，是曲线（为某一常数）存在斜渐近线的（   ）．

答案: 充分必要条件

7、 设函数，则（   ）．

答案: 是曲线的铅直渐近线

8、 设函数，则（   ）．

答案: 曲线有水平渐近线

9、 函数的图形在区间上（   ）．

答案: 递减且是上凸的

10、 数列中的最小项为（   ）．

答案:

11、 曲线在上是上凸的.

答案: 错误

12、 曲线在区间上是上凸的.

答案: 正确

13、 点是曲线的一个拐点.

答案: 正确

14、 函数的图形有铅直渐近线和斜渐近线.

答案: 正确

15、 函数在区间内是单调递增的.

答案: 错误

16、 设函数在区间内具有二阶导数，若导函数在该区间内是单调递增的，则曲线在内是下凸的.

答案: 正确

17、 若是曲线的拐点，则.

答案: 错误

18、 设函数在区间内具有二阶连续导数，若是曲线的拐点，则.

答案: 正确

第五周 第十五讲 曲率单元测试

1、 曲线在点处的曲率为（   ）．

答案:

2、 极坐标下对数螺线在点处的曲率为（   ）．

答案:

3、 正弦曲线上曲率为0的点的横坐标（   ）．

答案:

4、 椭圆曲率最小的点处（   ）．

答案: 和 ，

5、 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮打磨其内表面 , 则最合适的打磨砂轮的半径（   ）．

答案:

6、 曲线在点处的曲率为（   ）．

答案:

7、 正弦曲线上点处的曲率（   ）．

答案:

8、 正弦曲线上曲率最大的点的横坐标（   ）．

答案:

9、 椭圆在处的曲率（   ）．

答案:

10、 椭圆曲率最大的点处（   ）．

答案: 和， 

11、 曲线的参数方程表达式下的弧微分形式为．

答案: 正确

12、 在直角坐标系下弧微分的几何意义为：弧微分等于自变量的改变量相对应的切线的长．

答案: 正确

13、 曲线上点处的曲率圆与曲线在该点处有相同的切线和曲率，且在该点附近有相同的凹向．

答案: 正确

14、 设曲线由参数方程给出，则在对应的点的曲率公式为．

答案: 错误

15、 抛物线在其顶点处的曲率最大．

答案: 正确

16、 在极坐标系下曲线的弧微分形式为．

答案: 错误

17、 曲线段上切线转过的角度与弧段的长度之比称为该弧段上的平均曲率．

答案: 错误

18、 设曲线由参数方程给出，则在对应的点的曲率公式为．

答案: 正确

19、 光滑曲线在其驻点附近的曲率近似等于驻点处的二阶导数的绝对值．

答案: 正确

20、 光滑曲线在某点处的二阶导数的绝对值越大说明曲线弯曲程度越大．

答案: 错误