实变函数(长安大学) 中国大学MOOC作业答案

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作业1. 集合论 第二章单元作业

1、 设 求集列的上极限和下极限。
评分规则:  （1）先证对任意存在N，使得, 使得当n>N时，有0<x<n, 故, ，即. 而显然,得证。（2）若有, 则存在N使得对任意n>N，. 当2n-1>N时，, 则当n趋于无穷时由,矛盾。

2、 设A是一个集合，是两个集列，证明.
评分规则:  对任意，恒有, 所以.

3、 证明R上的单调递增函数的不连续点的全体为可数集。
评分规则:  若为单增函数f(x)的不连续点，则，故对应一个开区间. 而两个不同的不连续点对应的开区间互不相交，而实数轴上的互不相交的开区间族所成的集合是可数集。

4、 设证明存在, 使得.
评分规则:  令 则, 由此知存在不属于B，使得。 这是因为否则就有, 使得, 即,矛盾。证毕。

5、 设f(x),g(x)是定义在E上的函数，证明
评分规则:  由于是单调递增集列，故

作业2. 点集 第二章单元作业

1、 设,证明是包含E的一切闭集F的交，即.
评分规则:  （i）显然, 故, 因为是闭集，所以。（ii）由于是闭集，故, 结论得证。

2、 证明集合是闭集当且仅当.
评分规则:  必要性：若 则对任一, 存在且,由此知 又因为F是闭集，所以.充分性：设 则存在且 易知. 因为否则 而, 故，矛盾。证毕。

3、 设是两个开集，且 证明
评分规则:  反证法. 假设 即存在, 由于 故, 又是的内点，故存在, 使得, 可得不属于,出现矛盾。证毕

4、 证明：若是孤立点集，则存在开集G，闭集F，使得.
评分规则:  令, 则F是闭集， 令, 则G是开集，又由题设知, 所以.

5、 设是非空完备集，证明对任意的 存在, 使得x-y为无理数。
评分规则:  因为，所以对任意的是不可数集合，由此可知必存在，使得不属于有理数集。

作业3. 测度论 单元作业

1、 设是可测集，是可测集并且,试证集合是可测集。
评分规则:  由题设知, 由此可知，,所以集合可测，即是可测集。

2、 ,且可测，.若证明集合与可测。
评分规则:  作的等测包 则有.所以,且有注意到,即得可测，同理有可测。

3、 证明若且,则对任意的有
评分规则:  

4、 设, 则存在使得
评分规则:  记,则.对,不妨设，则由可知，即 可. 对可做类似推证，所以我们有所以是一个连续函数。根据连续函数中值定理，对使得,所以取.得证。

5、 设是互不相交的可测集列，,试证明.
评分规则:  显然 ,所以只需证明因为在不等式两端令即可得证。

6、 （可测集的平移不变性）设是可测集，则是可测集且
评分规则:  只需证明可测即可。由外测度的平移不变性可知，对任意的有 由此可得，集合$可测。

7、 设且,若有是有界闭集,则是可测集.
评分规则:  对任给取开集，且此外，又选闭集而且 ,从而可知存在,而且 ,即是可测集。

8、 设是不可测集，是可测集，证明与的对称差集是不可测集。
评分规则:  应用反证法，假设可测，则由,易推出$不可测，否则可测，从而当时，是可测集，再者,所以根据假定可知是可测集，所以由定义得到是可测集，与题设矛盾，这说明不可测，从而不可测。

9、 设是一列可测集，证明可测，且当时, 
评分规则:   ,因为可测,可测集的可数并与可数交可测，所以可测。令,则 是一个单调递减集合序列，所以又因为而且, 所以..

10、 设是中的可测集列，若,证明
评分规则:  利用可测集的定义来证明，因为可测，所以也可测， 所以对,又因为而 故.可数个零测度集的并也是零测度集，即,则有所以

作业4. 可测函数 第四章单元作业

1、 设是上几乎处处有限的可测函数，则存在，以及上的可测函数，使得，a.e. 。
评分规则:  

2、 2、在上定义函数如下：若在十进位小数表示式（采用无穷位小数表示）为，则令，试证明在上可测。
评分规则:  

3、 试作定义在上的实值可测函数，对于中的任一零测集，均不在上连续。
评分规则:  

4、 设是上实值可测函数。若对任给，以及，存在中可测子集以及，使得，且有。试问这是哪种意义下的收敛？
评分规则:  

5、 设 是上的可测函数，且有 a.e. ；又对任给，均有。若在上几乎处处收敛于0，试证明在上依测度收敛于0。
评分规则:  

6、 设是上的可测函数。若对任意的零测集，是可测集，则是可测函数。
评分规则:  

作业5. 积分论 积分论–作业

1、 设   是   上的非负可测函数，若   证明:
评分规则:  令有

2、 设f(x) 是 上几乎处处大于0的可测函数，且满足， 证明m(E)=0.
评分规则:  反证法。假定， 则存在 以及 从而这导致矛盾，证明完成。

3、 设f(x)与g(x)是  上非负可测函数，且，若有则 
评分规则:  设f(x),g(x) 在 E上可积，则由此即可得证明。

4、 试证在[0,1]上可积。
评分规则:  因为所以

5、 若，则有 
评分规则:  令由即得所证。